排队论最早由丹麦工程师Agner Krarup Erlang于1910年提出，旨在解决自动电话系统的问题，成为话务理论的奠基石。Erlang通过研究电话呼叫的随机到达和服务时间，推导出著名的埃尔朗电话损失率公式，用于计算电话系统的呼叫阻塞率，揭示了排队现象的本质。Erlang之后，排队论得到进一步发展。瑞典数学家Felix Balm引入了有限后效流概念，帮助分析复杂的输入过程；美国数学家William Feller提出了生灭过程理论，用以描述顾客到达和离开的动态变化。David George Kendall则通过嵌入马尔科夫链理论对排队系统进行分类，并提出了著名的Kendall符号表示法：A/B/C/d/e/f，简化了排队系统的描述。匈牙利数学家Lajos Takács引入组合方法，提升了求解复杂排队系统的效率。Takács的工作使得排队论在工程、计算机科学等领域得到广泛应用，成为研究排队现象的重要工具。
| 排队场景1 | 排队场景2 |
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一、Kendall排队系统分类模型
排队论，又称随机服务系统，是研究顾客随机到达、排队并接受服务的数学理论。
1.1 排队系统的构成要素
排队现象的复杂性在于其具有随机性和动态性。顾客的到来时刻与数量通常是未知的，因此排队系统是一种典型的随机聚散现象。为了更好地理解和分析排队系统，研究者通常将其划分为三个主要要素：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程：输入过程指的是顾客的到达方式。根据顾客到达的特点，输入过程可以进一步分为不同类型。例如，顾客源可以是有限的或无限的。当顾客源有限时，系统的顾客数量是有上限的，而无限顾客源意味着顾客可以源源不断地到达。顾客的到来方式也可以是单独到来或成批到来。单独到来意味着每次只有一个顾客到达系统，而成批到来则表示多个顾客在同一时间到达系统。此外，顾客的到达时间间隔可以是随机的或确定的，随机的到达间隔通常遵循某种概率分布，例如泊松分布（Poisson distribution）。输入过程还可以分为平稳和非平稳两种情况。在平稳输入过程中，顾客到达的平均速率在整个时间段内保持不变；而在非平稳输入过程中，顾客到达的速率会随时间变化，例如高峰期和非高峰期的顾客到达速率可能会有所不同。
排队规则：排队规则决定了顾客在系统中等待和接受服务的方式。常见的排队规则包括即时制（也称为损失制）和等待制。在即时制排队系统中，如果所有服务台都被占用，顾客会立即离开系统，不会排队等待。而在等待制排队系统中，顾客可以在服务台满员时排队等待，直到有服务台空出。服务顺序也是排队规则的一个重要组成部分。最常见的服务顺序是先到先服务（First-Come, First-Served, FCFS），即顾客按到达的顺序接受服务。另一种较少见的服务顺序是后到先服务（Last-Come, First-Served, LCFS），即最新到达的顾客优先接受服务。此外，还可以采用随机服务顺序，即顾客按随机顺序接受服务，或者采用优先权服务规则，即某些顾客比其他顾客享有更高的服务优先级。
服务机构：服务机构是指为顾客提供服务的设施。服务机构可以包含一个或多个服务台（servers）。当系统中有多个服务台时，它们可以以串行或并行的方式运作。串行服务意味着顾客需要依次通过每个服务台，而并行服务则表示顾客可以选择任意一个空闲的服务台。
服务时间的分布也可以分为确定型、纯随机型和中间型三类。确定型服务时间意味着每个顾客的服务时间是固定的；纯随机型服务时间则意味着每个顾客的服务时间是完全随机的，通常遵循某种概率分布，例如指数分布（Exponential distribution）；而中间型服务时间则介于两者之间，即服务时间具有某种随机性，但存在一定的规律性。
1.2 Kendall符号表示法
为了方便描述排队系统的特性，Kendall提出了一种符号表示法，其一般形式为：A/B/C/d/e/f。具体而言：
A代表顾客到达过程的分布类型，常见的分布包括泊松分布（M，Markovian）、一般分布（G，General）、确定型分布（D，Deterministic）等；
B代表服务时间的分布类型，常见的分布类型与A类似；
C表示系统中的服务台数量；
d表示系统的容量，即排队系统中最多可以容纳多少顾客；
e表示顾客的总数目，通常可以是无限的；
f表示排队规则，如先到先服务、后到先服务等。
通过这种符号表示法，我们可以简洁地描述各种不同的排队系统，亦即不同的排队模型。例如：
M/M/S/∞表示一个输入过程为泊松流，服务时间服从指数分布，系统有S个并行服务台，且系统容量为无限的排队系统。
M/G/1/∞表示输入过程为泊松流，服务时间服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为无限的排队系统。
GI/M/1/∞表示顾客到达的时间间隔服从一般概率分布，服务时间服从指数分布，系统中有一个服务台，且容量为无限的排队系统。
EK/G/1/K表示顾客的到达时间间隔服从K阶Erlang分布，服务时间服从一般概率分布，系统中有一个服务台，且容量为K的排队系统。
D/M/S/K表示顾客的到达时间间隔是确定的，服务时间服从指数分布，系统中有S个并行服务台，容量为K的排队系统。
1.3 常见的排队分布
| 分布类型 | 描述 | 概率密度函数 (PDF) | 期望 (E) | 方差 (Var) |
|---|---|---|---|---|
| 泊松分布 (Poisson) | 单位时间内事件到达的数量 | \(f(k;λ) =\frac{ λ^k*e^{-λ}}{k!}\) | E(X) = λ | Var(X) = λ |
| 指数分布 (Exponential) | 两个事件到达之间的时间间隔 | \(f(x;λ) = λe^{-λx}, x ≥ 0\) | E(X) = 1/λ | Var(X) = 1/λ² |
| 正态分布 (Normal) | 服务时间或其他连续变量 | \(f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) | E(X) = μ | Var(X) = σ² |
| 伽玛分布 (Gamma) | 累积服务时间 | \(f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0\) | E(X) = kθ | Var(X) = kθ² |
| Erlang分布 (Erlang) | 多阶段服务系统 | \(f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!} \quad \text{for } x > 0\) | E(X) = k/λ | Var(X) = k/λ² |
| 一般分布 (General, G) | 非特定分布类型 | - | E(X) = μ | Var(X) = σ² |
| 泊松分布 (Poisson) | 指数分布 (Exponential) | 伽玛分布 (Gamma) |
|---|---|---|
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1.4 排队分布的参数估计
根据统计学参数估计知识，可以跟踪在服务系统的到达时刻和接受服务的时间长度，估计出排队论常用的两个参数\(\lambda,\mu\)。
- 顾客到达间隔时间（根据\(\lambda = 0.5\)模拟，样本量为20）：
- 顾客服务时间（根据\(\mu = 0.7\)模拟，样本量为20）：
- 到达率\(\lambda\)的估计。根据顾客到达间隔时间的均值\(\bar{X}\)，\(\lambda\)的估计值为：
- 服务率\(\mu\)的估计。根据顾客服务时间的均值\(\bar{Y}\)，\(\mu\)的估计值为：
- 结果。估计到达率\(\lambda\)为：0.548；估计服务率\(\mu\)为：0.808，这些估计值基于我们模拟的指数分布数据，接近真实的\(\lambda = 0.5\)和 \(\mu = 0.7\)。
二、排队系统绩效指标
系统空闲概率 \(P_0\)
- 定义：系统中没有顾客的概率，即所有服务台都空闲。
- 计算：对于 M/M/1 和 M/M/c 系统，\(P_0\) 是基础指标，表明系统在无负载状态下的可能性。
系统中有 \(n\) 个顾客的概率 \(P_n\)
- 定义：系统中恰好有 \(n\) 个顾客的概率，反映系统在不同状态下的可能性。它是分析系统排队长度分布的重要指标。
平均队列长度 \(L_q\)
- 定义：排队系统中平均排队的顾客数，不包括正在接受服务的顾客。
- 计算：对于 M/M/1 和 M/M/c 系统，队列长度取决于顾客到达率、服务率及服务台数量。
顾客在系统逗留时间 \(L_s\)
- 定义：系统中包括排队和正在接受服务的顾客的平均数量。
- 公式：
- 对于 M/M/1 系统，\(L_s = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}\)。
- 对于 M/M/c 系统，公式更加复杂，但反映顾客到达和服务之间的平衡。
顾客的平均等待时间 \(W_q\)
- 定义：顾客在系统中排队的平均等待时间，不包括服务时间。
- 计算：对于 M/M/1 系统，\(W_q = \frac{L_q}{\lambda}\)；对于 M/M/c 系统，考虑了多个服务台及系统负载情况。
顾客的平均系统时间 \(W_s\)
- 定义：顾客在系统中的总时间，包括等待时间和服务时间。
- 计算：对于 M/M/1 系统，\(W_s = \frac{1}{\mu - \lambda}\)；对于 M/M/c 系统，\(W = W_q + \frac{1}{\mu}\)。该指标反映顾客从到达系统到离开的总时间。
通过这些指标，可以有效评估排队系统的服务效率、顾客的等待情况以及系统的稳定性。
| 排队系统指标 | M/M/1 | M/M/c |
|---|---|---|
| 到达过程 | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 \(\lambda\) | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 \(\lambda\) |
| 服务过程 | 服务时间服从指数分布，服务率为 \(\mu\) | 服务时间服从指数分布，服务率为 \(\mu\) |
| 服务台数量 | 1个服务台 | \(c\) 个服务台 |
| 系统空闲概率 | \(P_0 = 1 - \rho\)，其中 \(\rho = \frac{\lambda}{\mu}\) | \(P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c! (1 - \rho)} \right]^{-1}\)，其中 \(\rho = \frac{\lambda}{c\mu}\) |
| 系统中有 \(n\) 个顾客的概率 | \(P_n = (1 - \rho) \rho^n\) | 对于 \(n < c\)，有 \(P_n = \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} P_0\)；对于 \(n \geq c\)，有 \(P_n = \frac{(\lambda/\mu)^n}{c^c (c!) (1-\rho)} P_0\) |
| 平均队列长度 | \(L_q = \frac{\rho^2}{1 - \rho}\) | \(L_q = P_0 \frac{(\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1 - \rho)^2}\) |
| 系统中的平均顾客数 | \(L_s = \frac{\rho}{1 - \rho}\) | \(L = L_q + \frac{\lambda}{\mu}\) |
| 顾客的平均等待时间 | \(W_q = \frac{\rho}{\mu (1 - \rho)}\) | \(W_q = \frac{L_q}{\lambda}\) |
| 顾客在系统逗留时间 | \(W_s = \frac{1}{\mu - \lambda}\) | \(W = W_q + \frac{1}{\mu}\) |
三、排队系统性能指标的Python计算
import numpy as np# 参数设置
lambda_rate = 5 # 平均到达率
mu_rate = 7 # 服务率
c = 3 # 服务台数量# M/M/1 系统计算
rho = lambda_rate / mu_rate
P0_mm1 = 1 - rho
Pn_mm1 = [(1 - rho) * (rho ** i) for i in range(10)] # 计算前10个概率
Lq_mm1 = (rho ** 2) / (1 - rho)
Ls_mm1 = rho / (1 - rho)
Wq_mm1 = (rho / (mu_rate * (1 - rho)))
Ws_mm1 = 1 / (mu_rate - lambda_rate)# M/M/c 系统计算
factorial = np.math.factorial
P0_mmc = 1 / (1 + sum((lambda_rate / mu_rate) ** i / factorial(i) for i in range(c)) + (lambda_rate / mu_rate) ** c / (factorial(c) * (1 - rho)))
Pn_mmc = [P0_mmc * (lambda_rate / mu_rate) ** i / factorial(i) if i < c else P0_mmc * (lambda_rate / mu_rate) ** i / (c ** c * factorial(c) * (1 - rho)) for i in range(10)]
Lq_mmc = P0_mmc * ((lambda_rate / mu_rate) ** c * rho) / (factorial(c) * (1 - rho) ** 2)
L_mmc = Lq_mmc + lambda_rate / mu_rate
Wq_mmc = Lq_mmc / lambda_rate
W_mmc = Wq_mmc + 1 / mu_rate# 输出表格
print("排队系统指标 | M/M/1 | M/M/c")
print("| --- | --- | --- |")
print("到达过程 | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 {:.2f} | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 {:.2f} |".format(lambda_rate, lambda_rate))
print("服务过程 | 服务时间服从指数分布，服务率为 {:.2f} | 服务时间服从指数分布，服务率为 {:.2f} |".format(mu_rate, mu_rate))
print("服务台数量 | 1个服务台 | {} 个服务台 |".format(c))
print("系统空闲概率 | {:.2f} = 1 - {:.2f} | {:.2f} |".format(P0_mm1, rho, P0_mmc))
print("系统中有 n 个顾客的概率 | {} | {} 到 {} |".format(Pn_mm1[:3], Pn_mmc[:3], Pn_mmc[-3:])) # 展示部分概率
print("平均队列长度 | {:.2f} | {:.2f} |".format(Lq_mm1, Lq_mmc))
print("系统中的平均顾客数 | {:.2f} | {:.2f} |".format(Ls_mm1, L_mmc))
print("顾客的平均等待时间 | {:.2f} | {:.2f} |".format(Wq_mm1, Wq_mmc))
print("顾客在系统逗留时间 | {:.2f} | {:.2f} |".format(Ws_mm1, W_mmc))
| 排队系统指标 | M/M/1 | M/M/c |
|---|---|---|
| 到达过程 | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 5.00 | 顾客到达服从泊松分布，平均到达率为 5.00 |
| 服务过程 | 服务时间服从指数分布，服务率为 7.00 | 服务时间服从指数分布，服务率为 7.00 |
| 服务台数量 | 1个服务台 | 3 个服务台 |
| 系统空闲概率 | 0.29 = 1 - 0.71 | 0.31 |
| 系统中有 n 个顾客的概率 | [0.29, 0.20, 0.15] | [0.31, 0.22, 0.08] 到 [0.00064, 0.00046, 0.00033] |
| 平均队列长度 | 1.79 | 0.17 |
| 系统中的平均顾客数 | 2.50 | 0.88 |
| 顾客的平均等待时间 | 0.36 | 0.03 |
| 顾客在系统逗留时间 | 0.50 | 0.18 |
总结
参考资料
- 算法设计分析（Kruskal构造最小生成树）
- 最小生成树(最小支撑树)算法
