CF1554E You

题面

题解

注意a[u]是点u位置的a，不是每选一个点然后把非标记个数丢进vector里（

每选择一个点，相当于把相邻的非标记的边标为外向，最后一个点u的外向边个数就是a[u]

又观察发现每种边定向方案都可以构造（拓扑），所以一共有2^(n-1)种方案

设f[k]表示gcd=k，g[k]表示k|gcd，求出g之后反演一下

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显然g[1]=2^(n-1)；对于g[k>1]，发现叶子必定内向，然后去掉叶子后的下一层唯一确定父亲边方向，如此类推得到方案唯一，因此可以O(n)判断一个g[k]是否存在

找到任意一个叶子的父亲，记为sp，则a[sp]必为son[sp]或son[sp]+1，即k|son[sp]或k|(son[sp]+1)，因此check之前先判一下，这样要O(n)check的k就只有根号（其实是σ(n)）个了

总复杂度\(O(n\sqrt n)\)

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不用反演的话，gcd=k就先用k|gcd来求（唯一），最后求gcd判一下，多一个log

code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (int a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (int a=b; a>=c; a--)
#define add(a,b) a=((a)+(b))%mod
#define mod 998244353
#define ll long long
#define file
using namespace std;const int N=1e5+10;
int a[N*2][2],ls[N],len;
int p[N],miu[N],lenp;
bool bz[N];
vector<int> v;
int son[N],sum[N],fa[N],sp;
ll f[N],g[N];
int T,n;void init()
{int l=100000;miu[1]=1;fo(i,2,l){if (!bz[i])p[++lenp]=i,miu[i]=-1;fo(j,1,lenp)if (1ll*i*p[j]<=l){bz[i*p[j]]=1;miu[i*p[j]]=-miu[i];if (i%p[j]==0){miu[i*p[j]]=0;break;}}elsebreak;}
}
void New(int x,int y)
{++len;a[len][0]=y;a[len][1]=ls[x];ls[x]=len;
}ll qpower(ll a,int b)
{ll ans=1;while (b){if (b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}void dfs(int Fa,int t)
{int i;fa[t]=Fa;for (i=ls[t]; i; i=a[i][1])if (a[i][0]!=Fa){++son[t];dfs(t,a[i][0]);}v.push_back(t);if (sp==0 && son[t]) sp=t;
}int check(int k)
{if (!(son[sp]%k==0 || (son[sp]+1)%k==0)) return 0;memset(sum,0,(n+1)*4);fo(i,0,n-2){if (sum[v[i]]%k==0) ++sum[fa[v[i]]];elseif ((sum[v[i]]+1)%k!=0) return 0;}if (sum[1]%k==0) return 1;else return 0;
}void solve()
{scanf("%d",&n);len=0;sp=0;memset(ls,0,(n+1)*4);memset(f,0,(n+1)*8);memset(g,0,(n+1)*8);memset(son,0,(n+1)*4);memset(sum,0,(n+1)*4);fo(i,1,n-1){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);New(x,y),New(y,x);}if (n==2){f[1]=2;f[2]=0;}else{v.clear();dfs(0,1);g[1]=qpower(2,n-1);fo(k,2,n) g[k]=check(k);fo(i,1,n){for (int j=i; j<=n; j+=i)add(f[i],g[j]*miu[j/i]);}}fo(i,1,n) printf("%lld ",f[i]);printf("\n");
}int main()
{
//	freopen("CF1554E.in","r",stdin);init();scanf("%d",&T);for (;T;--T) solve();fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}