[lnsyoj2612/luoguP2766] 最长不下降子序列问题-编程知识

[lnsyoj2612/luoguP2766] 最长不下降子序列问题

news/2025/1/24 15:29:04/文章来源:https://www.cnblogs.com/XiaoJuRuoUP/p/-/luoguP2766

题意

给定正整数序列 \(x_1 \ldots, x_n\)，求

最长不下降子序列的长度 \(s\)。
如果每个元素只允许使用一次，从给定的序列中最多可取出多少个长度为 \(s\) 的不下降子序列。
如果允许在取出的序列中多次使用 \(x_1\) 和 \(x_n\)（其他元素仍然只允许使用一次），则从给定序列中最多可取出多少个不同的长度为 \(s\) 的不下降子序列。

sol

第 \(1\) 问是 LIS 板子题，记最终的结果为 \(mxn\)。
第 \(2\) 问中，如果将序列中的元素作为点，将可以 \(dp\) 数组的转移作为边，就可以建出一个图。问题等价于求这个图中，只能覆盖每个点 \(1\) 次，给定所有源点（满足 \(dp_s=1\) 的所有点 \(s\)）和汇点（满足 \(dp_t=mxn\) 的所有点 \(t\)），最多能覆盖多少个长度为 \(s-1\) 的路径。
由于容量的限制在于点而非边，这里可以使用拆点的技巧，即将一个点在网络中拆为两个点，在两点之间建一条容量为原来的点容量的弧。在这个网络上求网络流即可。
需要注意的是，由于可能存在多个起点和终点，因此需要建立超级源点和超级汇点。并向每一个可行的源汇点建弧，容量均为 \(1\)。
第 \(3\) 问和第 \(2\) 问等价，但是由于点 \(1\) 和点 \(n\) 无容量限制，因此需要对与超级源汇点及点内部的容量进行调整。
注意特判 \(n=1\)

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>using namespace std;const int K = 505, N = K * 2, M = N * N, INF = 0x3f3f3f3f;int f[K];
int nn;
int a[K];
int mxn;
int h[N], e[M], cap[M], ne[M], idx;
int d[N], cur[N];
int n, S, T;int dp(){for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) {f[i] = 1;for (int j = 1; j < i; j ++ )if (a[j] <= a[i])f[i] = max(f[i], f[j] + 1);}int res = 0;for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) res = max(res, f[i]);return res;
}bool bfs() {memset(d, -1, sizeof d);queue<int> q;d[S] = 0, cur[S] = h[S], q.push(S);while (!q.empty()) {int t = q.front(); q.pop();for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (d[j] == -1 && cap[i]) {d[j] = d[t] + 1;cur[j] = h[j];if (j == T) return true;q.push(j);}}}return false;
}int find(int u, int limit){if (u == T) return limit;int flow = 0;for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]){int j = e[i];cur[u] = i;if (d[j] == d[u] + 1 && cap[i]) {int t = find(j, min(cap[i], limit - flow));if (!t) d[j] = -1;cap[i] -= t, cap[i ^ 1] += t, flow += t;}}return flow;
}int dinic(){int r = 0, flow;while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;return r;
}void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, cap[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;e[idx] = a, cap[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}void build() {memset(h, -1, sizeof h);n = nn * 2 + 2; S = n - 1, T = n;for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) add(i * 2 - 1, i * 2, 1);for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) if (f[i] == 1) add(S, i * 2 - 1, 1);for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) if (f[i] == mxn) add(i * 2, T, 1);for (int i = 1; i < nn; i ++ )for (int j = i + 1; j <= nn; j ++ )if (a[i] <= a[j] && f[i] + 1 == f[j]) add(i * 2, j * 2 - 1, INF);
}void rebuild(){memset(h, -1, sizeof h);idx = 0;n = nn * 2 + 2; S = n - 1, T = n;add(1, 2, INF), add(nn * 2 - 1, nn * 2, INF);for (int i = 2; i < nn; i ++ ) add(i * 2 - 1, i * 2, 1);for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) if (f[i] == 1) {if (i == 1) add(S, i * 2 - 1, INF);else add(S, i * 2 - 1, 1);}for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) if (f[i] == mxn) {if (i == nn) add(i * 2, T, INF);else add(i * 2, T, 1);}for (int i = 1; i < nn; i ++ )for (int j = i + 1; j <= nn; j ++ )if (a[i] <= a[j] && f[i] + 1 == f[j]) add(i * 2, j * 2 - 1, INF);
}int main(){scanf("%d", &nn);for (int i = 1; i <= nn; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);mxn = dp();printf("%d\n", mxn);build();printf("%d\n", dinic());if (nn == 1) return puts("1"), 0;rebuild();printf("%d\n", dinic());
}