数学——约数

定义

设有整数 \(a\) 和 \(b\) ，如果存在整数 \(q\) 使得 \(a = b \times q\) ，则称 \(b\) 是 \(a\) 的约数， \(a\) 是 \(b\) 的倍数，记为 \(b\ |\ a\) 。

算数基本定理的推论

在算数基本定理中，任何一个大于 \(1\) 的正整数 \(N\) 都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：

\[N = p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \cdots \times p_m^{c_m} = \prod_{i=1}^{m}p_i^{c_i} \]

其中：\(c_i \in \mathbb{N}_+\) ， \(p_i\) 都是质数，并且满足 \(p_1 < p_2 < \cdots<p_m\) 。

则有以下推论：

\(N\) 的正约数集合为：

\[\left\{p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times\cdots\times p_m^{b_m}=\prod_{i=1}^m p_i^{b_i}\right\}, 其中 b_i\in[0,\ c_i] \]

\(N\) 的正约数个数为：

\[(c_1 + 1)\times(c_2 + 1)\times\cdots\times(c_m + 1)=\prod_{i = 1}^m (c_i + 1) \]

\(N\) 的所有正约数和为：

\[\begin{aligned} \sigma(N) &=\sum_{b_1=0}^{c_1}\sum_{b_2=0}^{c_2}\cdots\sum_{b_m=0}^{c_m}p_1^{b_1}\times p_2^{c_2}\times\cdots\times p_m^{c_m}\\ &=\left(\sum_{b_1=0}^{c_1}p_1^{b_1}\right)\times\left(\sum_{b_2=0}^{c_2}p_2^{b_2}\right)\times\cdots\times\left(\sum_{b_m=0}^{c_m}p_m^{b_m}\right)\\ &=\prod_{i=1}^{m}\sum_{j=0}^{c_i}p_i^j \end{aligned} \]

求 \(N\) 的正约数合集

试除法

如果 \(n\) 有约数 \(a\) 和 \(b\) ，且 \(a\times b=n\) 。如果 \(a\le\sqrt n\) ，则 \(b\ge\sqrt n\) ，反之亦然。换句话说，约束是成对出现的（除了完全平方数 \(\sqrt n\) 单独出现）。

所以，只需要扫描 \(1\sim\sqrt n\) 的每个整数 \(x\) ，判断 \(x\) 是否能整除 \(n\) ，若能，则 \(x\) 与 \(\large\frac{n}{x}\) 都是 \(n\) 的约数。时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\sqrt n)\) 。

试除法的推论

由上述的扫描过程不难发现一个整数 \(n\) 的约数个数至多有 \(2\sqrt n\) 个。

代码：

int cnt;
int num[N];for (int i = 1; i * i <= n; i++) {if (!(n % i)) {num[++cnt] = i;if (i != n / i) num[++cnt] = n / i;}
}

倍数法

不难发现，试除法在查找单个数的约数集合效率较高，但是不适用于批量查询，我们考虑优化。

在 \(\text{Eratosthenes}\) 筛法过程中我们可发现大量数字中一般会有共同的约数，此时进行试除法就会重复判断，所以我们利用正难则反的逆向思维选择用数字 \(x\) 本身去标记它的倍数 \(x, 2x, \cdots,\large{\frac{n}{x}}x\) 。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(n + \large{\frac{n}{2}}+\large{\frac{n}{3}}+\cdots+\large{\frac{n}{n}}\right)=\mathcal{O}\left(\sum\limits_{i=1}^n\large\frac{n}{i}\right) = \mathcal{O}(n \log n)\) 。

vector<int> num[N];for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j * i <= n; j++) num[i * j].push_back(i);

倍数法的推论

由此可见， \(1\sim N\) 中每个数的约数个数总和大约为 \(n \log n\) 。

调和级数

在上述时间复杂度中出现了一个很奇怪的式子，就是：\(\large{\sum\limits_{i=1}^n\frac{n}{i}} = n\sum\limits_{i=1} ^n\frac{1}{i}\) 。要想求解它，我们需要了解一下调和级数

定义

\[H_n = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \]

性质

1. 发散性，即：

\[\lim_{n\to\infty} H_n=+\infty \]

2. 渐近性，即：

\[H_n=\ln n + \gamma + \varepsilon n\approx\log n \]

• 其中

\[\gamma \approx0.57721 56649 01532\\ \varepsilon n \approx \dfrac{1}{2n} \]

最大公约数