1.平面中的匀速圆周运动
例子:一个物体在半径为r的圆形路径中以恒定大小的速度s移动。
建立一个二维坐标系,物体位于平面上,圆心在原点上。物体的瞬时速度v(t)总是与其运动轨迹相切,所以物体任意时刻的速度与轨迹圆相切,并且速度的大小:$|v(t)|=s$
下图右侧的两个三角形,上边的三角形表示在一段时间间隔$\Delta t$内位置的变化,这是一个等腰三角形,腰长为r,底为$\Delta p$。
下边的三角形表示在一段时间间隔$\Delta t$内速度的变化,这也是一个等腰三角形,腰长为s,底为$\Delta v$。
这两个三角形是相似三角形,所以有以下关系:
$\frac{|\Delta v|}{s} = \frac{|\Delta p|}{r}$
考虑$\Delta t$和$\Delta \theta$非常小的情况下:
$\lim_{\Delta t \to 0}|\Delta p|=s{\Delta t}$
$\frac{|\Delta v|}{s} = \frac{|\Delta p|}{r}$
$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta v|}{s}=\frac{s\Delta t}{r}$
$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta v|}{\Delta t}=\frac{s^2}{r}$
所以加速度的大小是$\frac{s^2}{r}$。加速的的方向是什么?通过比较$p(t)$和$\Delta v$,在$\theta$趋于0时,他们指向完全相反的方向,所以加速度总是朝向圆心,这就是为什么它被称为向心加速度。
2.参数方程表示
$x(t) = r \cos(\theta(t)) = r \cos(\theta_0 + \omega t)$
$y(t) = r \sin(\theta(t)) = r \sin(\theta_0 + \omega t)$
速度是位置函数的导数,通过微分这两个方程得到速度方程:
$\dot{x}(t) = \frac{d}{dt} (r \cos(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega \sin(\theta_0 + \omega t)$
$\dot{y}(t) = \frac{d}{dt} (r \sin(\theta_0 + \omega t)) = r\omega \cos(\theta_0 + \omega t)$
再次微分得到加速度方程:
$\ddot{x}(t) = \frac{d}{dt} (-r\omega \sin(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega^2 \cos(\theta_0 + \omega t)$
$\ddot{y}(t) = \frac{d}{dt} (r\omega \cos(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega^2 \sin(\theta_0 + \omega t)$