每日一题
面试题：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）
题目描述
给定一个整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度（子序列不要求连续）。
示例：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,5,7,101]，长度为 4。
答案与分析
1. 动态规划解法（时间复杂度 O(n²)）
思路
- 定义
dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。 - 对每个
i，遍历j从0到i-1，若nums[i] > nums[j]，则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
代码实现
python
复制
def length_of_LIS(nums):dp = [1] * len(nums)for i in range(len(nums)):for j in range(i):if nums[i] > nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp) if nums else 0
分析
- 时间复杂度为 O(n²)，空间复杂度 O(n)。
- 优点：思路直观，易于理解。
- 缺点：当
n较大时（如n=1e4），性能较差。
2. 贪心 + 二分查找优化（时间复杂度 O(n log n)）
思路
- 维护一个数组
tails，其中tails[i]表示长度为i+1的递增子序列的最小末尾值。 - 遍历数组，对每个数进行二分查找，找到其在
tails中的位置并更新或插入。
代码实现
python
复制
def length_of_LIS(nums):tails = []for num in nums:left, right = 0, len(tails)while left < right:mid = (left + right) // 2if tails[mid] < num:left = mid + 1else:right = midif left == len(tails):tails.append(num)else:tails[left] = numreturn len(tails)
分析
- 时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度 O(n)。
- 核心思想：通过维护
tails数组，保证其严格递增。每次插入或替换时，使用二分查找优化效率。 - 为什么能保证正确性？
- 若当前数比
tails所有元素大，说明可以形成更长的子序列。 - 若当前数能替换
tails中某个元素，说明可以优化后续子序列的构造（更小的末尾值更有利于后续扩展）。
- 若当前数比
面试考察点
- 动态规划基础：是否能设计状态转移方程。
- 算法优化能力：是否能想到贪心策略和二分查找的结合。
- 代码实现细节：二分查找的边界条件处理、数组更新逻辑。
- 复杂度分析：对时间/空间复杂度的理解和权衡能力。
