前言
感觉 \(\rm{trae}\) 太吃 \(\rm{cpu}\) 了, 单开的时候还好, 双开的时候体验感太差了
现在怎么莫名其妙又好了, 简直神奇
哦原来是这个还没写多少, 看起来是和插件的兼容问题, 希望后续能更好
这题是超级神奇的期望题, 需要好好做
思路
题意说实在的其实并不是很清晰
题意
给定 个入, 其中有 对朋友关系, 第 对朋友最初的友谊值为
次选择, 每次等概率选择一对入 也就是 的概率
对于一个朋友对, 假设它被选取了, 那么在之后的选择中, 它的友谊值会变成
求每次选择的所有朋友对的友谊值的期望和
不难发现可以把期望拆成每一对朋友的期望
对于一个朋友对, 假设它被选取了 次, 那么其总贡献就是
不难发现拆成对之间的贡献之后, 我们就可以简单处理了
可能会想到 \(\rm{dp}\), 但是发现 \(\mathcal{O} (n^2)\) 的复杂度是不可接受的, 而且不好优化
考虑其他好一点的做法, 根据期望的线性性, \(E\Big(\sum_{i = 1}^{k} h_i\Big) = \sum_{i = 1}^{n} E(h_i)\), 转化为计算每一对的期望和
因此可以简单列出表达式
\[\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=0}^{k}(\dfrac{\frac{n\times(n-1)}{2}-1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^{k-i}\times(\frac{1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^i\times C_k^i\times\frac{((f_j)+(f_j+i-1))\times i}{2}
\]
整理:
\[\sum_{i=0}^{k}(\frac{\frac{n\times(n-1)}{2}-1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^{k-i}\times(\frac{1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^i\times C_k^i\times\frac{(\sum_{j=1}^{m}(2\times f_j+i-1)))\times i}{2}
\]
发现这个不难计算就完成了
总结
总是要去模拟一下找性质的, 不然题都看不懂
-
常见贡献问题
- 求多种方式的贡献和
- 往往更改贡献主题, 求花费对应的操作方式个数
- 求单位部分的贡献, 然后求和
- 求多种方式的最大贡献
- 往往转化成判定类问题
- 求多种方式的贡献和
-
概率与期望
- 加法与乘法的结合本质上是穷举所有可能的独立组合
- \(\rm{dp}\) 特殊的点
- 一定一定一定要分阶段
- 可以先讨论那些更特殊的元素, 作为前阶段, 也就是说, 你可以在不影响概率的前提下处理阶段的优先级
- 结束状态一定倒推, 开始状态一定正推
- 按照规模 \(\rm{dp}\)
- 期望 \(\rm{dp}\)
- 全期望公式直接转移
- 用期望定义
- 可以求出每种情况的方案数，然后用期望定义得到答案
- 先概率 \(\rm{dp}\)
- 期望的线性性拆开考虑
- 整体等概率一般可以拆成每一次均匀选择
- 概率 \(\rm{dp}\)
- 全概率公式直接转移
- 双状态类问题
- 在允许的情况下具体维护 是否 的概率一般是更方便的
- 概率往往可以看做是方案数, 但是带了个总方案数的分母
