列空间和零空间 Column Space Nullspace

列空间和零空间 Column Space & Nullspace

​ 在上一节的线性空间中，提到\(\symbf{R}^n\)子空间有过零点的平面和直线两种（3维及以上），可以分别记为\(\symbf{P}\)和\(\symbf{L}\)。

​ 那么便有如下问题：

1. \(\symbf{P}\cup\symbf{L}\)一定是向量空间吗？

​ 答案是否定的，显然该空间对加法不封闭。（可以考虑为一个平面与一个直线取并集，倘若这个直线不在平面上，即形成了不等于0的夹角，那么任取直线上一向量与平面一向量，其和既不在直线上，又不在平面上。

2. \(\symbf{P}\cap\symbf{L}\)一定是向量空间吗？

​ 答案是肯定的。可以分为2种情况考虑：直线在平面上与直线不在平面上。对于第一种情况，其交集是零向量\(\symbf{Z}\)；对于第二种情况，交集是该直线，对于这两种情况，显然都符合向量空间的要求。

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​ 回到正题，首先考虑矩阵\(\symbfit{A}\)的列空间\(\symbf{C}\left(\symbfit{A}\right)\)：

​ 假设\(\symbfit{A}=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\)，其列空间就由其所有列的线性组合得到。那么便引出一个问题：\(\symbf{C}\left(\symbfit{A}\right)\)是整个\(\symbf{R}^4\)吗？实际上，这个问题等价于\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)是否对于任意\(\symbfit{b}\)都有解？（这三个列向量的线性组合能否构成\(\symbf{R}^4\)中任意一个列向量？）

​ 可以先把这个式子列出来

\[\symbfit{A}\symbfit{x}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ \end{bmatrix} \]

​ 未必有解，例如\(\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}\)不能得到（可以用高斯消元法试一试）。该列空间组成了\(\symbf{R}^4\)中的一个二维子空间\(\symbf{P}\)。

​ 那么便有了下一个问题，什么样的\(\symbfit{b}\)能够使之有解？（即这三个列向量能组合成什么样的列向量\(\symbfit{b}\)？）

​ 显然，只有\(\symbfit{b}\in\symbf{C}\left(\symbfit{A}\right)\)时，才有解。

​ 下一个问题：能否去掉某列，得到相同的列空间？

​ 当我们看到第一列时，它是需要保留的，同理，第二列也需要保留，但是第三列发现可以被第一和二列相加得到，那么第三列便可以舍弃。前两列称为主列（pivot columns）。

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​ 下面说一下矩阵\(\symbfit{A}\)的零空间\(\symbf{N}\left(\symbfit{A}\right)\)的定义：使\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbf{0}\)的所有\(\symbfit{x}\)组成的空间。对于刚才例子中的\(\symbfit{A}\)，其零空间是\(\symbf{R}^3\)的子空间。

​ 对于\(m\times n\)的矩阵\(\symbfit{A}\)，不难得出：\(\symbf{C}\left(\symbfit{A}\right)\subseteq\symbf{R}^m\)，\(\symbf{N}\left(\symbfit{A}\right)\subseteq\symbf{R}^n\)。

​ 对于例子中的\(\symbfit{A}\)，显然当\(\symbfit{x}=c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)（其中\(c\)为常数）时，\(\symbfit{x}\in\symbf{N}\left(\symbfit{A}\right)\)。