常见的概率分布-编程知识

常见的概率分布

news/2024/9/3 18:10:58/文章来源:https://www.cnblogs.com/qypx/p/18290584

1.离散型分布

1.1 两点分布（伯努利分布/贝努利分布/0-1分布）

称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的伯努利分布，如果它分别以概率 \(p\) 和 \(1-p\) 取 1 和 0 为值。

\[P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1\\ X\sim B(1,p)\\ E(X)=p\\ D(X)=p(1-p) \]

1.2 二项分布

n次独立的伯努利试验。如果事件发生的概率是 \(p\)，n次独立重复试验中发生k次的概率是（有放回抽样）

\[P(X=k)=\mathrm C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,...,n\\ X\sim B(n,p)\\ E(X)=np\\ D(X)=np(1-p) \]

有 \(n\) 件产品，其中 \(m\) 件次品 (\(m<n\))，从中不放回地任意抽取 \(k\) 件产品和有放回地任意抽取 \(k\) 件产品，在这两种抽取方法中每次抽出次品的概率相同，都为 \(\frac{m}{n}\)，抽得次品数的期望值也相同，都为 \(k\frac{m}{n}\)，但抽到的次品数的分布列不同，方差不同（超几何分布与二项分布）

关于为什么不放回抽样，每次抽到次品的概率都是 \(\frac{m}{n}\)，因为不放回抽样，每次抽样，都是与前些次的抽样相关的。
第一次抽样，抽中次品的概率为 \(\frac{m}{n}\)，
第二次抽样，抽中次品的概率为 \(\frac{m}{n}\times\frac{m-1}{n-1}+\frac{n-m}{n}\times\frac{m}{n-1}=\frac{m}{n}\)，
第三次抽样，抽中次品的概率为
\(\frac{m}{n}\times\frac{m-1}{n-1}\times\frac{m-2}{n-2}+\frac{m}{n}\times\frac{n-m}{n-1}\times\frac{m-1}{n-2}+\frac{n-m}{n}\times\frac{m}{n-1}\times\frac{m-1}{n-2}+\frac{n-m}{n}\times\frac{n-m-1}{n-1}\times\frac{m}{n-2}\)，
经过计算可得仍为 \(\frac{m}{n}\)

1.3 几何分布

在n次伯努利试验中，试验k次才第一次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当 \(r=1\) 时的特例

\[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,...\\ X \sim GE(p)\\ E(X)=\frac{1}{p}\\ D(X)=\frac{1-p}{p^2} \]

例：某产品的合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 \(X\sim GE(0.05)\)

1.4 帕斯卡分布（负二项分布）

在重复独立的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为 \(p\)，若将试验进行到出现 \(r\) (\(r\) 为常数) 次成功为止，以随机变量 \(X\) 表示所需试验次数，

\[P(X=k)=\mathrm C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...\\ E(X)=\frac{r}{p} \]

（当 \(r\) 是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布）

1.5 超几何分布

从 N 个物件中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回抽样）。

\(X\sim H(N,M,n)\)

产品抽样检查中，假定在 N 件产品中有 M 件不合格品，即不合格率为 \(\frac{M}{N}\)，在产品中随机抽 n 件进行检查，发现 k 件不合格品的概率为

\[P(X=k)=\frac{\mathrm C_M^k \mathrm C_{N-M}^{n-k}}{\mathrm C_N^n},\quad k=0,1,...,min\{n,M\}\\ E(X)=\frac{nM}{N}\\ D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-m}{N-1} \]

1.6 泊松分布

泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数，泊松分布的参数 \(\lambda\) 是单位时间内随机事件的平均发生次数。

\[P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,...\\ E(X)=\lambda\\ D(X)=\lambda \]

特征函数：\(\Psi(t)=\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}\)

2.连续型分布

2.1 均匀分布 \(U(a,b)\)

密度函数：

\[f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{b-a}&,&\quad a<x<b \\ &0&,&\quad 其他 \end{aligned} \right. \]

分布函数：

\[F(x)=\left\{ \begin{aligned} &0&,&\quad x<a \\ &\frac{x-a}{b-a}&,&\quad a\leq x < b\\ &1&,&\quad x\geq b \end{aligned} \right. \]

期望和方差：

\[E(X)=\frac{a+b}{2}\\ D(X)=\frac{(b-a)^2}{12} \]

2.2 指数分布 \(E(\lambda)\)

\[f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x} &,&\quad x>0 \\ &0&,&\quad 其他 \end{aligned} \right. \]

\[F(x)=\left\{ \begin{aligned} &0&,&\quad x<0\\ &1-e^{-\lambda x} &,&\quad x\geq0 \\\end{aligned} \right. \]

\[E(X)=\frac 1\lambda\\ D(X)=\frac {1}{\lambda^2} \]

2.3 正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty <x<+\infty\\ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt\\ \]

\[E(X)=\mu\\ D(X)=\sigma^2 \]

一般来说，正态分布的密度曲线是以为中心，在 \(\mu\) 的两侧呈对称的形状，曲线的形状像一个钟的剖面，故称为钟形曲线。 \(\sigma\) 越大，密度曲线的峰度越低； \(\sigma\) 越小，密度曲线的峰度越高。无论参数 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 取何值，密度曲线下所覆盖的面积均于 1。正态分布的密度曲线见图 1.4 。