分块和莫队总姐

news/2025/3/25 21:41:26/文章来源:https://www.cnblogs.com/lewisak/p/18792394

分块和莫队总结

分块

算法属性

离线/在线	在线
时间复杂度	因题而异，但经常是 \(O(n\sqrt n)\)
空间复杂度	因题而异，但经常是 \(O(n\sqrt n)\) 或 \(O(n)\)
实用性	广

算法简介

分块其实是一种思想而并非算法。

分块的思想是将序列每 \(len\) 长经行一次划分，然后在每一块中单独处理信息，在修改或查询时对整块部分直接修改或查询，对散点暴力，即可做到 \(O(qn\div len)\) 的优秀时间复杂度（因题而异）。

这么说有点空洞，还是看几到题吧：

[hdu1166 敌兵布阵](Problem - 1166 (hdu.edu.cn))

题意

维护一个长度为 \(n\) 的序列支持单点修改，区间求和。

思路

读完题后发现是经典数据结构题，线段树树状数组啥的都能做，但我们要讲的是分块。

考虑将序列分成 \(\sqrt n\) 块，对于每块维护区间和，修改时直接修改本块和和单点，查询时吧所有整块（最多 \(\sqrt n\) 块）和左右的散点（最多 \(\sqrt n\) 个）加起来即可，注意特判左右端点在一块的情况。

[[HNOI2010] 弹飞绵羊]([P3203 HNOI2010] 弹飞绵羊 - 洛谷 (luogu.com.cn))

题意

原题面挺清晰的。。。

思路

把原序列分块，对于每块维护要几步弹出和弹出后会飞到哪里，修改时直接块内暴力重构，查询时就一直跳直到飞走。

[[Violet] 蒲公英]([P4168 Violet] 蒲公英 - 洛谷 (luogu.com.cn))

题意

求区间最小众数，不带修。

思路

预处理出：

\(p_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个块到第 \(j\) 个块的最小众数
\(s_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个块中 \(j\) 出现了几次

对于查询，我们暴力统计散块，然后和整块的答案合并起来即可。

[教主的魔法](P2801 教主的魔法 - 洛谷 (luogu.com.cn))

题意

维护一个长度为 \(n\) 的序列支持区间增值，区间求 \(rk\)。

思路

把每一块排序后二分查找 \(rk\)，散点暴力遍历所处整块，修改就给整块打懒标记，散点增值后重新排序即可。

莫队

算法属性

在线/离线	离线
时间复杂度	\(O(n\sqrt n)\)
空间复杂度	\(O(n)\)
实用度	高

算法简介

如果从 \([l,r]\) 的答案能够 \(O(1)\) 扩展到与 \([l,r]\) 相邻的区间的答案，那么可以离线分块后将查询的 \(l\) 所在块为第一关键字，\(r\) 为第二关键字排序，在 \(O(n\sqrt{n})\) 的复杂度内求出所有询问的答案，复杂度分析

小B的询问

题意

原题面很明晰了。

思路

板题，开一个桶和数组记录答案，然后用小学数学就会的方法拆平方差的贡献就秒了。

[国家集训队] 小 Z 的袜子

也是做上国集题了啊。

题意

原题面很明晰了。

思路

清晰推式子题。

\[(a∗(a−1)/2+b∗(b−1)/2-c∗(c−1)/2....)/((R*−L*+1)∗(R−L)/2) \\=(a*2+b*2+c*2+...x*2−(a+b+c+d+.....))/((R−L+1)∗(R−L)) \\=(a*2+b*2+c*2+...x*2−(R−L+1))/((R−L+1)∗(R-L)) \]

[AHOI2013] 作业

题意

求一段区间中大小在 \([a,b]\) 的数的个数和大于等于 \(a\) 或小于等于 \(b\) 的数的个数。

思路

维护两个树状数组，一个表示数的个数，一个表示不同数值的个数即可，还有更优的方法懒得写了。

BZOJ4358 permu

题意

给出一个长度为 n 的排列 \(P(P1,P2,...Pn)\)，以及m个询问。每次询问某个区间[\([l,r]\)中，最长的值域连续段长度。

思路

回滚莫队板题，维护 \(L\) 和 \(R\) 数组表示连续段能向左向右多远，然后注意到每次加点都只用更新连续段的最左和最右的 \(L\) 和 \(R\)，原因是别的地方你加了也没贡献，只有点落在最左最右才能更新答案，我们考虑到正常莫队的话右端点是单调上升的不用撤回，于是考虑左端点的撤销，我们可以考虑对于所有左端点在一块的查询让左端点从右往左扫，然后每到下一块暴力清楚一遍。